Et pourtant, cela marche plutôt bien pour les perturbations courantes bien qu'elles ne soient pas infinitésimales .
To(sina'-sina) = m.dx. ¶²y/¶t² mais
(sina'-sina) =¶(sina) = dx. ¶(sina)/¶x car dx et ¶x représentent quasiment la même chose. Or les angles étant petits sina » tana » ¶y/¶x donc :
To.dx.¶(¶y/¶x)/¶x =
To. dx . ¶²y/¶x² = m . dx. ¶²y/¶t² (2)
¶²y/¶x²= (1/v²) . ¶²y/¶t²
Remarquez au passage toutes les idéalisations accomplies. Cette équation n'est donc valable rigoureusement que pour une perturbation microscopique sur une corde parfaite ...
Et pourtant, cela marche plutôt bien pour les perturbations courantes bien qu'elles ne soient pas infinitésimales .
Deux variables x et t interviennent dans ces équations : on le rappelle sans cesse en remplaçant la notation différentielle dx par ¶x et dt par ¶t ...
Ou encore d'après (2) en simplifiant dx : ¶²y/¶x²= (m/To) . ¶²y/¶t²
qui est l'équation d'onde ou équation de DALEMBERT.
En posant To/m = v² on voit apparaître la célérité de propagation "v"
De quel droit pose-t-on que v = ± Ö(To/m) ? Voyons les dimensions To ce sont des newtons soit To º kg . m . s-2 º M.L.T-2 et m º kg .m-1 soit M.L-1
pas de doute: m.To º L2.T-2 a la dimension du carré d'une vitesse.
La corde rouge est supposée parfaite :pas d'allongement ...
Les angles a et a' sont très petits. La corde est soumise à une tension To. Dans le référentiel terrestre, sur la petite tranche dx de corde, appliquons la relation fondamentale de la dynamique. (rappel : lettre rouge = vecteur)
T + T' = m . a (1)
Cette relation vectorielle, nous la projetons sur l'axe horizontal :
-To. cos a + T'o. cos a' = m . x"= m.dx. x"
comme les angles sont très petits: les cos = 1
et nous constatons qu'aucun déplacement selon x n'a lieu: cela entraîne que x" = 0 donc que To et T'o sont les mêmes. La tension de la corde reste identique tout le long de la corde.
Projetons maintenant la relation (1) sur l'axe des y.
-To. sin a + To. sin a' = m.dx. ¶²y/¶t²
