A) Nous avons vu que bien que la masse au repos soit un invariant, l'inertie d'un corps dépend de sa vitesse.
m = mo/Ö(1-v²/c²) (équation 1)
Cette forme est déplaisante pour faire des calculs. Les mathématiciens savent développer ceci en
m = mo(1 + 1/2v²/c² + 3/8v4/c4 + ... )
B) les termes de cette série sont très petits à partir de v4/c4 lorsque v est assez petit devant c:
m @ mo + 1/2mov²/c²
on y reconnaît 1/2mov²: c'est l'énergie cinétique au sens de Newton.
En multipliant partout par c², il vient mc² = moc² + 1/2 mov² + ...
D) la puissance P = d(E)/dt = F . v .
d(mc²)/dt = v . d(mv)/dt
en multipliant par 2m de chaque côté, on ne change pas l'égalité et c étant constant :
c².2m.dm/dt = 2mv.d(mv)/dt
or d(x²)/dt = 2xd(x)/dt alors:
c².d(m²)/dt = d(m²v²)/dt
si les dérivées de m² et de m²v² sont égales c'est que les quantités sont égales à une constante près:
m²c² = m²v² + K
E) Que vaut la constante K ?
voyons lorsque v = 0 , on a
mo²c² = 0 + K c'est clair !
donc : m²c² = m²v² + mo²c²
m²(c²-v²) = mo².c²
m²(1-v²/c²) = mo²
donc : m = mo/Ö(1-v²/c²) (équation 1)
L'hypothèse d'Einstein mc² = E entraine comme conséquence l'équation 1. Elle est vérifiée dans ses conséquences: elle est vraie
C) la formule en rouge dit que: l'énergie totale d'un corps mc² est la somme de l'énergie cinétique (1/2 mov²) et d'un terme moc² qu'Einstein interprèta comme "l'énergie au repos" du corps.
A partir de la loi :
mc² = moc² + 1/2 mov²
peut-on démontrer l'équation 1 ?
