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conduisent à penser que A doit diminuer exponentiellement. w, l et f sont des constantes que le calcul doit déterminer.
a = Ao. elt . sin( w.t + f )
Rappel w0² = J / C c'est la pulsation de l'oscillateur non amorti.
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B) a' = l .Ao.elt . sin (wt+f) + w. Ao. elt . cos (wt+f)
a' = l . a + w. Ao. elt . cos (wt+f)
a" = l² . a + l .w. Ao. elt . cos (wt+f) + l .w.Ao. elt . cos (wt+f) - . . . . w² . Ao. elt . sin (wt+f)
a" = a( -w² + l²) + 2 . l . w . Ao. elt . cos (wt+f)
l'équation différentielle donne donc en reportant a' et a" de l'hypothèse:
a.J.[l² - w² + C/J +lCf/J] + J.w. Ao.elt. cos (wt+f).[ Cf/J + 2.l] = 0
Comme a est un sin et l'autre partie un cos, pour obtenir la nullité à tout instant, il faut que la quantité verte et la quantité bleue soient nulles. On appelle w²o = C/J la pulsation du système sans frottement.
l = -Cf/2J et w² =C/J + C²/4J- Cf²/4J² = w²o - Cf²/4J²
Le frottement ralentit la pulsation. On trouvera les régimes critique, faiblement amorti etc ...
Pour la phase, choisissons l'origine des temps judicieusement et elle devient nulle !!!
A) Le mouvement de rotation du pendule de torsion provoque un ensemble de frottements (avec l'air et dans le fil de torsion lui même). Si les frottements sont équivalents à un couple de forces de freinage proportionnelles à la vitesse ( et donc à a') nous pouvons l'écrire:
.......................... Cf . a'
La relation de la dynamique des corps en rotation indique que :
somme des moments = - J a" soit:
J . a" + C . a + Cf . a' = 0
Ce type d'équation différentielle admet, comme solution une fonction trigonométrique de type "sin" ou "cos" car d²[sin(x)]/ dx² = - sin(x).
Allons-y-gaiement! a = A . sin( w.t + f )
A est l'amplitude, mais elle s'amortit. Nos précédentes aventures avec les amortissements (pendule à ressort, RLC) nous
