Pour mémoire, sans frottement, on avait:
x" + (k/m)x = 0.
Pour mémoire, sans frottement, on avait:
x" + (k/m)x = 0.
. On obtient donc une pulsation w plus petite que la pulsation libre. De combien ?
En prenant m = 100g,
k=20 N.m-1
et un paramètre de frottement f qui ne laisse subsister que 1% de l'amplitude au bout de 200s
To = 0,44428829 s
T = 0,44428888 s
On a eu raison de négliger l'amortissement dans notre mesure au chronomètre.
A quoi va ressembler la solution? cela oscille encore à la pulsation w. Mais il y a diminution de l'amplitude avec le temps.
On va essayer une expression x = Xmax. e-lt . sin (wt+f)
Xmax est l'amplitude au départ, on choisit l'origine au moment où on libère le système, la valeur de f est de -p/2. "l" est la constante d'amortissement dont le calcul nous indiquera la relation avec "f".
x' = -l .Xmax.e-lt . sin (wt+f) + w. Xmax. e-lt . cos (wt+f) ou bien encore : x' = -l . x + w. Xmax. e-lt . cos (wt+f)
x" = l² . x - l .w. Xmax. e-lt . cos (wt+f) - l .w. Xmax. e-lt . cos (wt+f) - . . . . w² . Xmax. e-lt . sin (wt+f)
x" = x( -w² + l²) - 2 . l . w . Xmax. e-lt . cos (wt+f)
l'équation différentielle donne donc en reportant x' et x" de l'hypothèse:
x.[l² - w² + k/m - f.l/m] + w . Xmax. e-lt . cos (wt+f).[ f/m - 2.l] = 0
Comme x est un sin et l'autre partie un cos, pour obtenir la nullité à tout instant, il faut que la quantité verte et la quantité bleue soient nulles.
l = f/2m et w² =k/m - f²/4m² = w²o - f²/4m²
Vous l'aurez voulu.
Qu'est ce qui change ? Une force de frottement qui s'oppose au déplacement. Comme la vitesse n'est pas bien grande, on va dire qu'elle est proportionnelle à la vitesse.
Ffrot = - f . x'
La relation fondamentale de la dynamique dit que 
. Le vecteur i est le vecteur unité de l'axe des x.
Projetons cette relation sur l'axe des x orienté vers le haut:
m.g + k.x - mg - f.x' = m . x"
rangeons un peu tout cela:
x" + (k/m)x + (f/m)x' = 0 voici la nouvelle équation différentielle.
